Darkhon (darkhon) wrote,
Darkhon
darkhon

Categories:

Почему умножение и деление «приоритетнее» сложения и вычитания

https://a-rodionova.livejournal.com/67729.html#t592017

Месяц назад на Рамблере появилась сообщение о том, что появившийся в твиттере пример 8:2(2+2) (
https://twitter.com/pjmdolI/status/1155599063242485762 ) пользователи решают по разному: одни делят 8 на 2 и умножают на (2+2), ответ: 16, другие делят 8 на произведение 2(2+2), ответ — 1. Первых — большинство. Правильный ответ - 1. Я хотела написать пост на эту тему. Пока помещаю отрывок из него, где объясняю правила порядка действий.

Почему умножение и деление «приоритетнее» сложения и вычитания

Пусть выражением 20+10 =30 записано решение задачи. Слагаемыми являются известные числа, известные по условиям задачи, типа такой: вчера выкопали 20 кг моркови, сегодня — 10. Какой урожай моркови?

Теперь представим, что слагаемые неизвестны, но по условию задачи известно, что 20 — это 10*2, а 10 — это 30:3. Так и записываем сумму: 10*2+30:3=? Нам надо получить сумму двух неизвестных чисел, чтобы подсчитать урожай.

Для того, чтобы теперь найти сумму, нужно в первую очередь вычислить слагаемые, которыми здесь являются произведение и частное. На этом основании они становятся первоочередными действиями, а сложение - последним, заключительным действием, т. к. вычисляется искомая сумма.

Всё очень просто. Повторю. Т.к. невозможно вычислить сумму неизвестных чисел, записанных в виде неизвестного произведения и частного без нахождения произведения и частного, то это и является той незыблемой основой первоочередного выполнения умножения и деления, когда произведение и частное являются слагаемыми. А действие сложения в таких выражениях всегда является заключительным.

Некогда математики договорились, что для того, чтобы подобные выражения и формулы не пестрели трёхэтажными и выше скобками, не писать, а лишь подразумевать скобки для умножения и деления, т. к. произведения и частные, которые являются слагаемыми, всегда находятся в первую очередь, что всем (некогда было) ясно и без скобок (как «Волга впадает в Каспийское море»). Ставь скобки или нет, всё равно сначала будешь делить и умножать, а потом складывать и вычитать. По этим же соображениям отказались брать в скобки возведение в степень, извлечение корня и ряд других действий, которые первоочерёднее умножения и деления, когда являются неизвестными множителями, делимыми и делителями, т. е. когда неизвестно значение корня или степени, без вычисления которых нельзя совершить умножение и деление.

Вот так надо понимать, почему умножение и деление «приоритетнее» сложения и вычитания. Первоочерёдность теперь обозначается нелепым словом «приоритетность», т. е. вы должны умножение и деление делать первыми потому, что они «приоритетнее» сложения! И самим не смешно, т. к. на деле выясняется, что умножения и деление — это вспомогательные действия, которые нужно сделать, чтобы найти сумму? Как раз сложение имеет настоящую важность. Если бы не нужно было находить сумму, то умножать/делить было бы не нужно. Будем считать, что поняли, почему умножение и деление «приоритетнее» сложения. Основу первоочерёдности умножения и деления нельзя изменить. Поэтому другие «приоритеты» будут ложными. Если вы знаете основу как смысл такой очерёдности, то плевать вы хотели и на правила и на тех, кто дурит вас при помощи своих «правилотворческих актов».

Слово «приоритетность» теперь все понимают как обозначение некой таинственной важности умножения и деления, из-за которой им присвоили более «высокий» «приоритет». Сложение и вычитание становятся как бы «ущербными» действиями, имея самый низкий «приоритет» в «табеле о рангах». Эмоциональная нагрузка заменяет смысловую. Чтобы избавиться от эмоций, надо просто заменить слово «приоритетность» на, скажем, «очерёдность» (первоочерёдность, равноочерёдность), чтобы мозг не буксовал. Или восстановить прежнюю терминологию (не помню, что использовалось вместо «приоритетности»).

Почему умножение и деление «равноприоритетны»

В примере решения задачи есть действия деления и умножения. На этот случай имеется правило, что умножение и деление — равноприоритетны, т. е. их можно выполнять в произвольной последовательности.

Действительно, абсолютно неважно, какое из слагаемых вычисляется первым, какое - вторым, т. к. очерёдность вычислений слагаемых не влияет на сумму. Неважность очерёдности действий умножения и деления при вычислении слагаемых в выражении — это основа безочерёдности этих действий, что значит, произведения и частные в выражении можно вычислять в любом порядке, как удобно, не соблюдая правило «слева направо».

Понятно, что в выражении, где есть несколько слагаемых в виде произведений, частных, а также других действий, взятых в скобки, так же неважно для правильного ответа, в каком порядке вычислять слагаемые. Не обязательно начинать вычислять сначала все слагаемые в скобках, потом все частные и произведения, порядок — произвольный, как удобно. А также необязательно находить сразу все слагаемые, несмотря на «пониженную приоритетность» сложения/вычитания. Пожалуйста, можете выполнять сложение по мере вычисления неизвестных слагаемых. Особенно это пригождается, когда решаешь конкретную задачу, в которых промежуточные суммы имеют определённое смысловое значение, т. е. являются ответами, на промежуточные вопросы задачи. Это позволяет быстрее найти ошибку в постановке вопроса, формулировке действия или в вычислении какого-либо параметра. Если же найти все слагаемые оптом, а потом сложить, то я даже не знаю, как потом найти ошибку. Тупое исполнение правил мешает осмысленно относится к задаче и превращает решение задачи в муторный процесс вычислений (благо, его облегчили калькуляторы) и не позволяет накопить опыт (который, «сын ошибок трудных», потому трудных, что требуют исправления, но тяжело в учении — легко в бою) их решения. Правила превращают мозг человека в калькулятор.

Почему «равноприоритетны» сложение и вычитание (на примере выражения без умножения и деления)

Т.к. вычитание есть сложение с отрицательными числами, и от перемены мест слагаемых сумма не изменяется, то вычитание и сложение могут проводиться в любой очерёдности, т. к. это одно и то же действие. Такова основа безочерёдности выполнения действий сложения и вычитания, которую в псевдоматематическом новоязе назвали равной приоритетностью сложения и вычитания. Не может одно и то же действие быть «разноприоритетным», если уж на то пошло.

Например: 10+20-10 можно посчитать в таком порядке: 10+(20-10), в таком: -10+10+20, в таком: -10+20+10, в таком 10-10+20. Во всех случаях ответ будет одинаков — 20. Порядок вычисления не влияет на сумму, поэтому у действий сложения и вычитания - произвольная очерёдность, которую устанавливает тот, кто находит значение выражения.

Сложение и вычитание не имеет очерёдности согласно переместительному свойству сложения, поэтому правило «слева направо» выполнять необязательно.

Т. к. сложение — это увеличение количества, а вычитание — уменьшение, то ребёнок не может сразу понять, почему в реальности разные действия (сложение и вычитание) формально являются одним и тем же. Поэтому самое главное, что ребёнку надо пояснить, почему разное — одинаково, так, чтобы, наоборот, не запутать его. Если он сам не поймёт, не увидит одинаковость с точки зрения именно арифметики, как бы условности исключительно для удобства счёта реальных вещей, то он просто зазубрит, мол, «что это одно и тоже», чего нельзя допускать, ибо он отчается понять, что повлечёт за собой цепь непониманий. Поэтому пояснять надо в своё время. Думаю, что одинаковость будет ясна в полной мере после понимания, что такое отрицательные числа как уяснения их назначения (практического использования) - «ниже нуля и выше нуля». До этого вычитание для ребёнка будет самостоятельным арифметическим действием, как он видит на практике, противоположностью сложения по результату. Поэтому детям сначала надо соблюдать правило «слева направо» в выражениях, где есть сложение и вычитание, чтобы получить правильный ответ. Но не делать правило догмой, а лишь подспорьем при неуверенности. Положительные слагаемые они могут складывать произвольно, они могут сложить все слагаемые, из которых потом вычитать все вычитаемые, чтобы убедиться, что сумма не меняется, и на наглядных практических примерах с теми же счётными палочками, понять — почему. В примерах, подобных 10+20-10 они могут сначала выполнить вычитание, т. е. второе действие, или сначала от 10 — 10, и всё это можно воспроизвести на практике, с помощью тех же счётных палочек. Затем в выражения можно добавлять слагаемые/вычитаемые в виде неизвестных произведений и частных. После изучения отрицательных чисел и накопления опыта действий с ними они легко могут осознать тождественность вычитания и сложения как арифметического действия, убедившись в этом на практике.

назначение правила «слева направо»

Мы выяснили, что если в выражении два и более слагаемых, неважно, простых или сложных, то сложение (вычитание) данных и найденных слагаемых можно производить в любом порядке. Зачем же в таких выражениях бывает нужно применять очерёдность вычисления «слева направо»?

Иногда порядок нахождения суммы «слева направо» имеет смысл. Любое математическое, как арифметическое, так и алгебраическое, выражение определяется и составляется исходя из условий задачи. Поэтому составление и запись выражения отражает логику решения данной задачи, последовательность ответов на предварительные вопросы, получив которые, человек может получить ответ, ради которого он решал задачу и даже ставил её. Поэтому каждый член выражения, являющийся количественной характеристикой, имеет и смысловое значение, отвечая на вопрос: «количество чего?» (только в абстрактных примерах этот вопрос не ставится, число имеет только величину, или «значение», и не имеет качественной, или смысловой, характеристики). Т. к. арифметические действия записываются в порядке осознания задачи и решения предварительных вопросов, то тем самым фиксируется смысловая нагрузка членов выражения, следовательно, фиксируется смысл действия — на какой вопрос будет получен ответ. Следовательно, очередность действий в порядке записи выражения («слева направо») позволяет решающему задачу человеку сохранять логику решения, последовательно отвечая на предварительные вопросы. Только для этой цели требуется соблюдать очерёдность «слева направо». Но и в этом случае, уверенный в себе человек, хорошо понимающий смысл задачи, может не соблюдать этого правила, если ему удобно считать (ведь считать не означает - решать) в другой последовательности, как какой-либо абстрактный пример. Для этой же цели учащиеся осваивают способы «упрощения выражений» и свойства арифметических действий. Такой человек всегда может объяснить метод своего решения, как свои допущенные на время условности. Большинство людей уверенность путают с самоуверенностью, поэтому для страховки им лучше соблюдать очерёдность действий, чтобы не запутаться в задаче и не получить абсурд в виде «полтораземлекопа». В физике адекватность составленного выражения решению задачи проверяется размерностью.

Выше я уже показала, что произвольность в очерёдности (а также хоть «справа налево») не вредит вычислению ответа, когда находятся неизвестные произведения и частные.

В выражениях, где члены НЕ являются слагаемыми, например 8:2*4, нужно выполнять действия «слева направо». И теперь уже не только ради сохранения смысла членов выражения, а потому, что другой порядок действий даст неправильный ответ. Правило «слева направо» придаёт строгую очерёдность «безочерёдным» делению и умножению. Почему?

Хотя умножение и деление имеют своими корнями сложение/вычитание, но в отличие от вычитания и сложения, они не являются одним и тем же действием. Умножение — это сложение одинаковых чисел, а деление — это разложение суммы на равные количественные доли. Как говорят — обратное действие. В данном примере 8 делится пополам. Одна часть = 4. Эта часть обратно складывается, но не 2 раза, чтобы опять получилась 8, а 4 раза, что в сумме даёт 16. Взаимосвязь, как обратимость, деления и умножения видна в примерах, где делитель равен множителю: 8:2*2=8. Мы разделили 8 на 2 части, потом часть сложили 2 раза, и получили 8. В общем, насчёт обратимости понятно: на сколько частей разобрали, столько и собрали. Не в этом дело. Но во взаимосвязь умножения и деления дети тоже должны вникнуть, выявить её на опыте (упражнениях), а не просто знать о ней, т. к. без этого не смогут владеть этими инструментами математики в полной мере.

Из примера видно, что 8 является делимым, а 2 является делителем. Делитель, как теперь называется, это - «оператор действия», т.е. это то, что делит (на определённое его величиной количество частей). Поэтому 2 не может быть одновременно множителем (точнее - умножаемым) для 4. Не должно быть «или-или», т. е. двусмысленности назначения члена выражения. Множителем (умножаемым) для 4 (здесь 4 - оператор умножения) станет частное от деления 8 на 2, т. е. тоже 4. Следовательно, последовательность записи действий слева направо определяет так сказать статус каждого члена выражения: что есть делимое, делитель, множитель. А это не просто «статус», а так сказать, «положение обязывает». Делителю — делить, умножаемому — умножаться, множителю - умножать. Значит, в порядке записи обозначен порядок действий. Сама запись есть способ обозначения порядка действий. Способ, который устраняет неоднозначность, порождаемую безочерёдностью («равноприоритетностью») умножения и деления. Это есть основание правила «слева направо». Менять этот порядок, например выполнять сначала умножение 2*4, значит - фактически решать не данный, а другой пример, в котором бывший делитель (2) становится множителем для 4, а полученное произведение — делителем 8. В первом случае мы находим произведение, во-втором, частное. Т.е. изменение порядка действий изменяет пример. Другой пример — другой ответ. Если же нам нужен именно «другой пример», то нет проблем - произведение 2*4 берётся в скобки: 8:(2*4), или знак деления заменяется на горизонтальную черту. В данном случае скобки «аннулируют» очерёдность «слева направо», т. к. меняют «статус» двойки с делителя, данный ему порядком записи, на умножаемое. Чтобы оно благополучно умножилось. В алгебраических выражениях, типа a:bc, чтобы обозначить делителем b, нужно делимое и делитель взять в скобки(а:b)c, или заменить знак деления на горизонтальный. Хотя проще всего в таких случаях поставить знак умножения между b*c. Точнее, при записи алгебраического выражения его просто не надо опускать. Но принято его опускать, поэтому скобки — в помощь.

***

Я разъяснила объективные основания «приоритетности» всех арифметических действий. Надеюсь теперь всем понятно, почему не может быть ни различных, ни других правил «приоритетности». Порядок действий не зависит от человека. От человека зависит лишь его формулировка в виде правил. При желании каждый может формулировать правила «своими словами», формулируя своё понимание очерёдности.

Повторю, что это отрывок, где я показываю смысл правил
BODMAS/PEMDAS, т.к. без смысла они становятся догмой. Но весь сыр-бор разгорелся по причине того, что никто, включая решивших правильно, не понимает смысла опущенного перед скобками знака умножения. Опущенный знак умножения имеет назначение скобок, поэтому в "спорном примере" делителем 8 является произведение 2(2+2). Или, выражаясь на математическом новоязе, опущенный знак умножения делает действие умножения "приоритетнее" деления, т.к. согласно правилам, действия в скобках первичны. В данном случае опущенный знак умножения меняет порядок вычисления "слева направо" на "справа налево", определяя делителем произведение. Постараюсь дописать текст, т.к. мне надо было понять, как вообще и почему мог произойти такой "спор". Для меня это как гром с ясного неба.


Телеграмм-канал для своих, не скопипащенных, постов: t.me/warrax_news

Tags: не могу не перепостить
Subscribe

Recent Posts from This Journal

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 14 comments

Recent Posts from This Journal